بخش دوم کتاب
پارادوکس راسل
درنظریه مجموعه ها، وجود مجموعه همه مجموعه ها U ( مجموعه جهانی) امری مسلم فرض می شود. راسل به این فکرافتاد که مجموعه ها را به دو دسته تقسیم کند: مجموعه هایی که عضو خودشان نیستند مانند مجموعه انسانها که خودش انسان نیست و مجموعه هایی که
عضوخودشان هستند. حال مجموعه همه مجموعه هایی را که عضوی ازخود نیستند، درنظرمی گیریم.
این مجموعه را A می نامیم. به این ترتیب { FÏF | FÎU } =A . اکنون این سؤال مطرح می شود که آیا این مجموعه عضو خودش هست یا نیست. دو حکم زیر را بررسی می کنیم.( مجموعه Aرا « مجموعه راسل» می نامیم.)
1) حکم AÏA - برهان: فرض کنیم AÎA باشد. ازآنجا که هرعضو از A یک مجموعه است که عضو خودش نیست، بنابراین ازعضویت
A در A نتیجه می شود که A مجموعه ای است که عضو خودش نیست یعنی AÏA. اما این برخلاف فرض است، پس AÏA و حکم
برقرار است.
2) حکم AÎA - برهان: فرض کنیم AÏA باشد. چون A همه مجموعه هایی را که عضو خود نیستند، دربردارد و ازطرف دیگر AÎU
است، پس نتیجه می شود که AÎA. اما این برخلاف فرض است، پس AÎA و حکم برقرار است.
ازاین دو برهان نتیجه می شود که مجموعه همه مجموعه ها وجود ندارد، زیرا وجود آن منجربه تناقض« AÏA و AÎA » درباره مجموعه A ازU می شود.
تئوری طبقات راسل
راسل این تئوری را برای جلوگیری از پیش آمدن پارادوکس درکتاب اصول ریاضیات خود ارائه داد. راسل این موضوع را مطرح می کند که هر عضو از یک مجموعه براساس خاصه یا شروطی که با یک تابع گزاره ای بیان می شود، درآن مجموعه قرار می گیرد.
به ازای برخی ازمقادیر، تابع گزاره ای propositional function به گزاره ای صادق بدل می شود و به ازای برخی ازمقادیر، گزاره حاصله کاذب است.
سلسله مقادیری که تابع گزاره ای درآنها یک گزاره صادق است، حوزه صدق range of truth نامیده می شود.
از طرف دیگر، مقادیری هم هست که درآنها گزاره حاصله ، نه صادق است و نه کاذب، بلکه بی معنی است واصولاً خاصه مربوطه، برآنها
قابل اطلاق نیست.
سلسله مقادیری که تابع گزاره ای را به گزاره ای معنی دار بدل می کنند و درنتیجه درباره صدق یا کذب آن می توان حکم نمود،
حوزه اطلاق range of significance را تشکیل می دهند.
به این ترتیب، راسل برای هرتابع گزاره ای، دو حوزه صدق واطلاق قائل می شود.
برای مثال، درتابع گزاره ای« x ناطق است.» اگر به جای x سقراط قرار گیرد، گزاره « سقراط ناطق است.» صادق است. اما اگر به جای x ،
مجموعه انسانها گذاشته شود، گزاره « مجموعه انسانها ناطق است.» بی معنی است؛ زیرا مجموعه انسانها، انسان یا عینی نیست که ناطق بودن یا نفی آن به نحو معنی داری برآن قابل اطلاق باشد واصولاً درحوزه اطلاق ِ این تابع گزاره ای نیست.
مجموعه انسانها نه انسان است و نه می تواند انسان باشد تا ناطق شود، درنتیجه مجموعه انسانها عضو خودش نیست و نمی توان درباره
عضو خود بودن یا نبودن آن سخنی گفت و چنین سخنی فاقد معناست.
به این ترتیب، این مسئله که یک مجموعه عضوی ازخودش باشد، درحوزه اطلاق تابع گزاره ای مربوط به آن نیست و بی معنی است.
بطورخلاصه، مجموعه اشیاء، خود یک شیء نیست. برای مثال، یک تیم فوتبال مجموعه ای ازافراد است که این مجموعه نمی تواند عضوی از اعضاء خود باشد ولی می تواند عضو مجموعه ای از طبقه دیگر مانند مجموعه تیم های فوتبال یک شهرکه مجموعه ای ازمجموعه هاست، باشد.
این دومجموعه ازدوطبقه متفاوتند و توجه به تفاوت میان طبقات، مانع از بروز پارادوکس می شود.
بنابراین، مجموعه همه مجموعه ها وجود ندارد و تنها سلسله طبقات مجموعه ها وجود دارد و این سلسله حد و مرزی ندارد.
راسل درابتداء تفاوت بین طبقات را تفاوت میان طبقات موجودات درنظرمی گرفت. بعد ازمدتی، درکتاب
« مبانی ریاضیات» Principia Mathematica این نکته را مطرح کرد که نمادهای نشان دهنده مجموعه ها، تعریف، کاربردها و نقش معینی دارند ولی خود آنها فی نفسه فاقد دلالتند و موجوداتی مابازاء آنها وجود ندارند وصرفاً شیوه هایی برای اشاره به سایر موجودات اند.
خودِ مجموعه ها هیچ معنایی ندارند؛ مجموعه ها تعبیه های نمادین یا زبانشناختی هستند و نمادهای ناقص اند. او این ایده را
« لغو مجموعه ها abolition of classes» می نامد.
پس ازاین نکته، راسل به تفسیر زبانشناختی تئوری طبقات روی می آورد واینک تفاوتهای بین طبقات را تفاوت میان توابع نحوی
درنظرمی گیرد. بعبارت دیگر، تفاوتها بین طبقاتِ مختلفِ نمادهاست که وضع طبقه ای شان را قواعد نحوی ِ حاکم برآنها معین می کنند.
راسل، علاوه براین، ازتئوری طبقات در مواجهه با چند مسئله فلسفی نیز سود می جوید و براساس این تئوری به آنها پاسخ می دهد.
روزگار خوش 