محض یا کاربردی

تاریخچه پارادوکس راسل

برتراند راسل  Bertrand Russell(1970- 1872) فیلسوف و ریاضیدان برجسته انگلیسی، درسال 1901 پارادوکس paradox خود را در منطق مجموعه ها کشف کرد و آن را در کتاب « اصول ریاضیات» The principles of mathematics ارائه داد.

دراین کتاب راسل در پی مسئله مبانی ریاضیات بود و درآنجا عدد را برمبنای مجموعه ها تعریف میکرد. سرچشمه این تحویل به فرگه Frege (1925- 1848) منطقدان آلمانی بازمی گردد که برای اولین بار اعداد را به مجموعه ها احاله کرد و برای کارخود این فرض را بدیهی گرفت که در ازای هرشرطی که شما درباره چیزها بکنید، مجموعه ای از همان چیزها هست که آن شرط درموردشان صدق می کند.

راسل این پارادوکس را به فرگه نشان داد و فرگه اظهار داشت که این پارادوکس بنیاد حساب را متزلزل کرده است. این پارادوکس بویژه برای فرگه ضربه خرد کننده ای بود، زیرا فرگه جلد سوم ازکتاب قوانین بنیادی علم حساب را براثراین پارادوکس هرگز ننوشت.

حتی فرگه پاسخی را برای آن فراهم ساخت، اما اندکی پس ازمرگش یک منطقدان لهستانی بنام لسنی یفسکی Lesniewski  ثابت کرد که این پاسخ درست نیست و گمان میرود که حتی خود فرگه هم به این امر پی برده باشد.

اززمان پدید آمدن نظریه مجموعه ها توسط کانتورGeorg Cantor  ( 1918- 1845) تا کشف راسل، وجود مجموعه ی تمام مجموعه ها یا مجموعه جهانی مطلق، امری مسلم فرض می شد. راسل نشان داد که قبول وجود چنین مجموعه ای به تناقض منجر می شود و بنابراین، مجموعه تمام مجموعه ها نمی تواند وجود داشته باشد. این تعارض، جهان ریاضی را به لرزه انداخت.

کمی بعد از انتشار پارادوکس راسل ، پارادوکس های بسیاری در نظریه مجموعه ها ساخته شد . نتیجه این شد که برخی از واژه های این نظریه مانند مجموعه وعضو یک مجموعه به عنوان امور تعریف نشده و اولیه پذیرفته شود و تعدادی اصول موضوع برای آن طرح گردد تا پارادوکسی درآن رخ ندهد.

درواقع درنظریه اصل موضوعی مجموعه ها به این مسئله پرداخته می شود که با ارائه اصولی از بروز پارادوکس ها درآن ممانعت به عمل آید.

هم اکنون حاصل چنین کاری، نظریه مجموعه های کلاسیک که همگی با آن آشنا هستیم و نظریه های غیرکلاسیک مجموعه ها شده است.

با این حال تا به امروز کسی موفق نشده است یک سیستم اصل موضوعی مطلوب را برای این نظریه ارائه دهد و با این همه، نظریه کانتور امروزه در پایه گذاری آنالیز مدرن و توپولوژی اهمیت خاصی دارد.

راسل کوشید با طرح تئوری طبقات theory of types این پارادوکس را برطرف سازد.

مطابق این تئوری، محال- یعنی بی معنا- بود که کسی بگوید طبقه یا مجموعه ای عضو خودش هست یا نیست. عده ای با این تئوری قانع نشده اند وبه نظر می رسد راههای مختلفی برای از میان برداشتن آن وجود دارد.

درگیری با این پارادوکس، ما را هرچه بیشتر با پیچیدگی هایی که مبانی ریاضیات برآن استوارند، روبرو می سازد. همچنین باید به خاطرداشت که گاهی پارادوکس ها الهام بخش هستند و زمینه های نوینی را پیش روی ما قرارمی دهند واکتشافات مهمی را به بارمی آورند.

و. و. کواین Willard. V.Quine فیلسوف و منطقدان برجسته ی آمریکایی امیدوار است که « آنقدرازاین دستگاه ] یعنی ریاضیات محض[ زده شود که به ضعیف ترین و طبیعی ترین مجموعه مفروضاتش برسد، یعنی فرض هایی که هنوزشالوده کافی برای کاربردهای علمی فراهم کنند؛ و یکی ازآثاراین تقلیلِ به حداقل، راه حلی طبیعی تر و قطعی تر از راه حل فعلی برای قضایای جدلی الطرفین درنظریه مجموعه ها مانند پارادوکس راسل باشد.»

در این فصل، ابتداء به شرح پارادوکس راسل می پردازیم، سپس راه حل راسل و ویتگنشتاین برای آن را توضیح می دهیم. دربخش آخر با

تحلیل ها و دیدگاههای جدیدی به مصاف آن می رویم که تاکنون سابقه نداشته اند و برای اولین بار ارائه می شوند.

                                 روزگار خوش